Formelsammlung

Submitted by Stefan on 2. June 2008 - 17:03

Hier gibt es die volle Ladung Mathematik zum Thema 3D-Grafik: Meine Formelsammlung.

Die länge eines Vektors mit 4 Elementen

$l = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + t^2}$

Senkrechte Projektion eines Vektors a auf einen Vektor b

$\vec p = \vec b \frac{\vec a \vec b}{\vec b ^ 2}$

Der Winkel zwischen zwei Vektoren

$\cos \alpha = \frac{\vec a \vec b}{\lvert \vec a \rvert \lvert \vec b \rvert}$

Kreuzprodukt zweier Vektoren

$\vec a \times \vec b = \left( \begin{array}{c} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \\ 0 \end{array} \right)$

Matrixmultiplikation

$\left( \begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & r_{24} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & r_{34} \\ r_{41} & r_{42} & r_{43} & r_{44} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} e_{11} & e_{12} & e_{13} & e_{14} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} & e_{24} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} & e_{34} \\ e_{41} & e_{42} & e_{43} & e_{44} \end{array} \right)$

mit

$e_{11} = m_{11} r_{11} + m_{12} r_{21} + m_{13} r_{31} + m_{14} r_{41}$
$e_{12} = m_{11} r_{12} + m_{12} r_{22} + m_{13} r_{32} + m_{14} r_{42}$
$e_{13} = m_{11} r_{13} + m_{12} r_{23} + m_{13} r_{33} + m_{14} r_{43}$
$e_{14} = m_{11} r_{14} + m_{12} r_{24} + m_{13} r_{34} + m_{14} r_{44}$
$e_{21} = m_{21} r_{11} + m_{22} r_{21} + m_{23} r_{31} + m_{24} r_{41}$
$e_{22} = m_{21} r_{12} + m_{22} r_{22} + m_{23} r_{32} + m_{24} r_{42}$
$e_{23} = m_{21} r_{13} + m_{22} r_{23} + m_{23} r_{33} + m_{24} r_{43}$
$e_{24} = m_{21} r_{14} + m_{22} r_{24} + m_{23} r_{34} + m_{24} r_{44}$
$e_{31} = m_{31} r_{11} + m_{32} r_{21} + m_{33} r_{31} + m_{34} r_{41}$
$e_{32} = m_{31} r_{12} + m_{32} r_{22} + m_{33} r_{32} + m_{34} r_{42}$
$e_{33} = m_{31} r_{13} + m_{32} r_{23} + m_{33} r_{33} + m_{34} r_{43}$
$e_{34} = m_{31} r_{14} + m_{32} r_{24} + m_{33} r_{34} + m_{34} r_{44}$
$e_{41} = m_{41} r_{11} + m_{42} r_{21} + m_{43} r_{31} + m_{44} r_{41}$
$e_{42} = m_{41} r_{12} + m_{42} r_{22} + m_{43} r_{32} + m_{44} r_{42}$
$e_{43} = m_{41} r_{13} + m_{42} r_{23} + m_{43} r_{33} + m_{44} r_{43}$
$e_{44} = m_{41} r_{14} + m_{42} r_{24} + m_{43} r_{34} + m_{44} r_{44}$

Invertieren von Matrizen (die Formeln stammen von Wikipedia)

$A^{-1} = \frac{\operatorname{adj} (A)}{\det(A)}$

$\operatorname{adj}(A) = \tilde A^T = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\ \tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ \tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}$

Man sollte hierbei beachten, dass dem Indexpaar $(i,j)$ der Cofaktor $\tilde a_{ji}$ zugeordnet wird. Die Cofaktoren $\tilde a_{ji}$ berechnen sich zu

$\tilde a_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot M_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{vmatrix}$

Die Minoren $M_{ji}$ sind die Werte der Unterdeterminanten der transponierten Matrix $A^T$ , die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entstehen.

Mit dem laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer $n \times n$ -Matrix "nach einer Zeile oder Spalte entwickeln". Die beiden Formeln lauten

Entwicklung nach der j-ten Spalte:

$\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}$

Entwicklung nach der i-ten Zeile:

$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}$

wobei $A_{ij}$ die $(n-1) \times (n-1)$ -Untermatrix von A ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Das Produkt $(-1)^{i+j}\det A_{ij}$ wird Minore $\tilde a_{ij}$ genannt.

Hier kann man das im Detail auf Wikipedia nachlesen:

Abbildungen mit Matrizen

$\left( \begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \\ v_t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} m_{11} v_x + m_{12} v_y + m_{13} v_z + m_{14} v_t \\ m_{21} v_x + m_{22} v_y + m_{23} v_z + m_{24} v_t \\ m_{31} v_x + m_{32} y_y + m_{33} v_z + m_{34} v_t \\ m_{41} v_x + m_{42} y_y + m_{43} v_z + m_{44} v_t \end{array} \right)$

Drehmatrix um die X-Achse

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Drehmatrix um die Y-Achse

$\left( \begin{array}{cccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Drehmatrix um die Z-Achse

$\left( \begin{array}{cccc} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Die Drehmatrix um eine beliebige Achse

Ist $\vec{a}$ die Drehachse und $\alpha$ der Drehwinkel und gilt $|\vec{a}|=1$ dann erhält man mit
$x = a_x \sin \frac{\alpha}{2}$
$y = a_y \sin \frac{\alpha}{2}$
$z = a_z \sin \frac{\alpha}{2}$
$w = \cos \frac{\alpha}{2}$
die Drehmatrix um die Achse $\vec{a}$ und den Winkel $\alpha$ mit
$\left( \begin{array}{cccc} 1-2(y^2 + z^2) & 2(xy-zw) & 2(xz + yw) & 0 \\ 2(xy+zw) & 1-2(x^2+z^2) & 2(yz-xw) & 0 \\ 2(xz-yw) & 2(yz+xw) & 1-2(x^2+y^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

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